Introducción.
La Multiplicación de Polinomios en el 8º Grado de educación básica fue investigada como alternativa multidisciplinaria a presentarse en la exposición técnica de ITEXSAL del año 2008. La cual ha sido preparada, esquematizada y escrita con todo el entusiasmo, responsabilidad y dedicación contribuyendo de esta manera a fortalecer la razón de la visión de nuestra institución ITEXSAL en la vida cotidiana de nosotros los salvadoreños.
En esta pagina web nuestra misión es dar a conocer el conocimiento sobre las bondades que tienen los polinomios y de cómo influye en la vida cotidiana.
El propósito y utilidad del caso de estudio de los polinomios en este documento son los siguientes:
- Conocer en el área de las matemáticas que es la multiplicación de polinomios.
- Fomentar el uso de la multiplicación de polinomios.
- Contribuir al fortalecimiento de las estrategias educacionales sobre las matemáticas en El Salvador.
sábado, 25 de octubre de 2008
objetivos de la investigacion
Objetivos.
· Reconocer la importancia de la aplicación de la multiplicación de polinomios en las letras y números naturales especialmente en el diario vivir.
· Valorar las propiedades específicas de la multiplicación de polinomios.
· Distinguir problemas más comunes en el proceso del uso de la multiplicación de polinomios en los números naturales en la matemática moderna.
· Demostrar por medio de juegos matemáticos la multiplicación de polinomios, ejemplificarla en una forma divertida, clara y sencilla.
· Reconocer la importancia de la aplicación de la multiplicación de polinomios en las letras y números naturales especialmente en el diario vivir.
· Valorar las propiedades específicas de la multiplicación de polinomios.
· Distinguir problemas más comunes en el proceso del uso de la multiplicación de polinomios en los números naturales en la matemática moderna.
· Demostrar por medio de juegos matemáticos la multiplicación de polinomios, ejemplificarla en una forma divertida, clara y sencilla.
historia de los polinomios
Historia.
Esto comienza en el siglo XVI y se desarrolla notablemente en el siglo XVII. Sin embargo, su origen se remonta a los babilónicos y egipcios. En papiros egipcios que datan de 2000 años a. de C. se hallan soluciones de problemas cuya traducción hoy, correspondería a ecuaciones de primer grado.
En el siglo III de nuestra era, el matemático Diofanto de Alejandría escribió la obra Aritmética, en las que crea los signos de la multiplicación, usa abreviaturas y un signo para la sustracción; también resuelve ecuaciones cuadráticas. El aporte de hindúes, árabes y griegos al progreso del algebra es notorio. Comienzan a dar reglas para la solución de ecuaciones de primero y segundo grados con una incógnita.
En el siglo IX, el matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far) (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر), conocido generalmente como al-Jwārizmī, vivió aproximadamente entre 780 y 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, (حساب الجبر و المقابلة) nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. La primera palabra significa compensación o restauración (de los dos miembros de la igualdad de una ecuación), y la segunda significa reducción (de términos semejantes).
El concepto de álgebra de al-Jwārizmī, puede ser comprendido ahora con mayor precisión: se ocupa de la teoría de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y de la aritmética de binomios y trinomios relativos. La solución tenía que ser general y calculable al mismo tiempo en un sentido matemático, esto es, con un fundamento geométrico. La restricción de grado, así como el bajo número de términos, se explica de manera inmediata. De esta emergencia real, el álgebra puede ser vista como una teoría de las ecuaciones resueltas por medio de radicales1, y de cálculos algebraicos de expresiones relacionadas.
Una parte del libro álgebra de al-Jwārizmī, consiste de aplicaciones y ejemplos. Busca reglas para encontrar el área de figuras como el círculo y también para encontrar el volumen de sólidos, como la esfera, el cono y la pirámide.
El término árabe “al-jarb” se transformó en el castellano “álgebra” y su significado sería restaurar.
Si buscas en un diccionario el significado de la palabra “algebrista” te encontrarás con:
-Persona que se dedica al álgebra (parte de las matemáticas).
-Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos.
Del escritor español, Miguel de Cervantes de Saavedra, (1547 – 1616), siendo el cuarto hijo de un hombre humilde que según la enciclopedia británica, fue barbero, cirujano y acomodador de huesos es decir “Algebrista”, descubrimos una receta nemotécnica para facilitar la solución a tantas expresiones algebraicas de tercer ciclo básico. Primero debemos romperle los huesos iguales (al muqabala) y luego conciliar el resto de la estructura ósea (al yabr ua) quien describe en el capítulo XV de la obra “El ingenioso hidalgo Don Quijote de la mancha”, parte segunda, aparece el término algebrista en este sentido se narra de cómo Don Quijote vence en buena lid al caballero de los espejos, quien no es otro que su paisano, el bachiller Sansón Carrasco. El bachiller maltrecho y apaleado por el famoso hidalgo, se queja a su escudero de “…el dolor grande de mis costillas…” y concluye este capitulo “…En esto fueron razonados los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curo el Sansón desgraciado…”
Así, en el siglo XVI, en las puertas de los barberos castellanos había un cartel con la siguiente leyenda: “ALGEBRISTA Y SANGRADOR”. Esto era porque los antiguos barberos además de afeitar también sacaban sangre y restauraban huesos rotos.
Pues, como has podido leer, el padre de Cervantes era “algebrista”.
Otro tema principal tratado por al-Jwārizmī, en el libro Sindhind zij son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas, tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralaje2 y de eclipses; y la visibilidad de la Luna. Un manuscrito relacionado, atribuido a al-Jwārizmī, que trata sobre trigonometría esférica
Al-Jwārizmī, escribió un trabajo importante sobre geografía que daba latitudes y longitudes de 2402 localidades como base para un mapa del mundo. El libro, que está basado en la Geografía de Ptolomeo lista latitudes y longitudes, ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos. El manuscrito incluye mapas que en conjunto son más precisos que los de. Ptolomeo En particular, está claro que en los sitios para los cuales al-Jwārizmī, disponía de un mayor conocimiento local, como las regiones islámicas, África y el oriente lejano, su trabajo es considerablemente más preciso que el de Ptolomeo, pero para Europa al-Jwārizmī, parece haber usado los datos de Ptolomeo.
Cierto número de trabajos menores fueron escritos por al-Jwārizmī, sobre temas como el astrolabio4, sobre el que escribió dos trabajos, sobre el reloj de sol y sobre el calendario judío. También escribió una historia política que contenía horóscopos de personas prominentes.
El matemático italiano Leonardo de Pisa enriqueció con nuevos adelantos el algebra y la divulgo en Europa. Varios algebristas italianos colaboraron en el adelanto del algebra, entre ellos: Nicolás Tartaglia, Jerónimo Cardano y Ludovico Ferrari.
En 1489, John Widmann ideo los signos (+) y (─); Christoff Rudolf (1525) comenzó a usar el signo √; Robert Recorde (1557) introdujo el signo =; William Oughtred (1631) uso el signo ×; en ese mismo año, Thomas Harriot comenzó a usar los signos <>.
René Descartes en 1637 adopto la letra × para designar la incógnita y comenzó a usar los números enteros, como hoy, para escribir los exponentes.
Isaac Newton en 1676 generalizo la formula para desarrollar un binomio e hizo extensivo el procedimiento al caso de los exponentes negativos y fraccionarios.
1. La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número. Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una formula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.
2. Paralaje es el aparente cambio de posición de un objeto causado por un cambio en la posición del observador.
3. Un astrolabio es un instrumento antiguo para medir el ángulo entre el horizonte y una estrella o planeta. Fue reemplazado por el octante y el secante.
Esto comienza en el siglo XVI y se desarrolla notablemente en el siglo XVII. Sin embargo, su origen se remonta a los babilónicos y egipcios. En papiros egipcios que datan de 2000 años a. de C. se hallan soluciones de problemas cuya traducción hoy, correspondería a ecuaciones de primer grado.
En el siglo III de nuestra era, el matemático Diofanto de Alejandría escribió la obra Aritmética, en las que crea los signos de la multiplicación, usa abreviaturas y un signo para la sustracción; también resuelve ecuaciones cuadráticas. El aporte de hindúes, árabes y griegos al progreso del algebra es notorio. Comienzan a dar reglas para la solución de ecuaciones de primero y segundo grados con una incógnita.
En el siglo IX, el matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā'far) (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي ابو جعفر), conocido generalmente como al-Jwārizmī, vivió aproximadamente entre 780 y 850. Debemos a su nombre y al de su obra principal, Hisab al yabr ua al muqabala, (حساب الجبر و المقابلة) nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. La primera palabra significa compensación o restauración (de los dos miembros de la igualdad de una ecuación), y la segunda significa reducción (de términos semejantes).
El concepto de álgebra de al-Jwārizmī, puede ser comprendido ahora con mayor precisión: se ocupa de la teoría de las ecuaciones lineales y cuadráticas con una sola incógnita, y de la aritmética de binomios y trinomios relativos. La solución tenía que ser general y calculable al mismo tiempo en un sentido matemático, esto es, con un fundamento geométrico. La restricción de grado, así como el bajo número de términos, se explica de manera inmediata. De esta emergencia real, el álgebra puede ser vista como una teoría de las ecuaciones resueltas por medio de radicales1, y de cálculos algebraicos de expresiones relacionadas.
Una parte del libro álgebra de al-Jwārizmī, consiste de aplicaciones y ejemplos. Busca reglas para encontrar el área de figuras como el círculo y también para encontrar el volumen de sólidos, como la esfera, el cono y la pirámide.
El término árabe “al-jarb” se transformó en el castellano “álgebra” y su significado sería restaurar.
Si buscas en un diccionario el significado de la palabra “algebrista” te encontrarás con:
-Persona que se dedica al álgebra (parte de las matemáticas).
-Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos.
Del escritor español, Miguel de Cervantes de Saavedra, (1547 – 1616), siendo el cuarto hijo de un hombre humilde que según la enciclopedia británica, fue barbero, cirujano y acomodador de huesos es decir “Algebrista”, descubrimos una receta nemotécnica para facilitar la solución a tantas expresiones algebraicas de tercer ciclo básico. Primero debemos romperle los huesos iguales (al muqabala) y luego conciliar el resto de la estructura ósea (al yabr ua) quien describe en el capítulo XV de la obra “El ingenioso hidalgo Don Quijote de la mancha”, parte segunda, aparece el término algebrista en este sentido se narra de cómo Don Quijote vence en buena lid al caballero de los espejos, quien no es otro que su paisano, el bachiller Sansón Carrasco. El bachiller maltrecho y apaleado por el famoso hidalgo, se queja a su escudero de “…el dolor grande de mis costillas…” y concluye este capitulo “…En esto fueron razonados los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curo el Sansón desgraciado…”
Así, en el siglo XVI, en las puertas de los barberos castellanos había un cartel con la siguiente leyenda: “ALGEBRISTA Y SANGRADOR”. Esto era porque los antiguos barberos además de afeitar también sacaban sangre y restauraban huesos rotos.
Pues, como has podido leer, el padre de Cervantes era “algebrista”.
Otro tema principal tratado por al-Jwārizmī, en el libro Sindhind zij son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas, tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralaje2 y de eclipses; y la visibilidad de la Luna. Un manuscrito relacionado, atribuido a al-Jwārizmī, que trata sobre trigonometría esférica
Al-Jwārizmī, escribió un trabajo importante sobre geografía que daba latitudes y longitudes de 2402 localidades como base para un mapa del mundo. El libro, que está basado en la Geografía de Ptolomeo lista latitudes y longitudes, ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y ríos. El manuscrito incluye mapas que en conjunto son más precisos que los de. Ptolomeo En particular, está claro que en los sitios para los cuales al-Jwārizmī, disponía de un mayor conocimiento local, como las regiones islámicas, África y el oriente lejano, su trabajo es considerablemente más preciso que el de Ptolomeo, pero para Europa al-Jwārizmī, parece haber usado los datos de Ptolomeo.
Cierto número de trabajos menores fueron escritos por al-Jwārizmī, sobre temas como el astrolabio4, sobre el que escribió dos trabajos, sobre el reloj de sol y sobre el calendario judío. También escribió una historia política que contenía horóscopos de personas prominentes.
El matemático italiano Leonardo de Pisa enriqueció con nuevos adelantos el algebra y la divulgo en Europa. Varios algebristas italianos colaboraron en el adelanto del algebra, entre ellos: Nicolás Tartaglia, Jerónimo Cardano y Ludovico Ferrari.
En 1489, John Widmann ideo los signos (+) y (─); Christoff Rudolf (1525) comenzó a usar el signo √; Robert Recorde (1557) introdujo el signo =; William Oughtred (1631) uso el signo ×; en ese mismo año, Thomas Harriot comenzó a usar los signos <>.
René Descartes en 1637 adopto la letra × para designar la incógnita y comenzó a usar los números enteros, como hoy, para escribir los exponentes.
Isaac Newton en 1676 generalizo la formula para desarrollar un binomio e hizo extensivo el procedimiento al caso de los exponentes negativos y fraccionarios.
1. La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número. Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una formula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.
2. Paralaje es el aparente cambio de posición de un objeto causado por un cambio en la posición del observador.
3. Un astrolabio es un instrumento antiguo para medir el ángulo entre el horizonte y una estrella o planeta. Fue reemplazado por el octante y el secante.
los polinomios
LOS POLINOMIOS.
Ahora que ya conocemos parte de su historia, para asimilar este tema de investigación comenzaremos con identificar la diferencia que existe entre la Aritmética y el carácter propio del algebra.
En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: Veinte; para expresar un valor mayor o menor que este habrá que escribir un número distinto de 20.
Ej.: 20 = 2 ´ 10 + 0 ´ 1 = 20.
Álgebra: Rama de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. Por lo tanto el concepto de la cantidad en Algebra es mucho mas amplio que en aritmética.
En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.
NOTACION ÁLGEBRAICA.
Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: aI, aII, aIII, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3 que se leen a sub uno, a sub dos, a sub tres.
Formulas.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formulas algebraicas.
Formula algebraica es la representación, por medio de letras, unidas por los signos de las operaciones aritméticas, de una regla o de un principio general.
Así la geometría enseña que el área de un cuadrado es igual al producto de su base por su altura; luego llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la formula queda así: A = b x h.
En el cuadrado de dimensiones X, Y el perímetro (P), es P = 2x + 2y
El área (A), es A = xy
La longitud de la diagonal (D) es D = √x2+y2
SIGNOS DEL ÁLGEBRA.
Los signos del algebra son de tres clases:
Signos de operación.
Signos de relación.
Signos de agrupación.
SIGNOS DE OPERACIÓN.
En algebra se verifican con cantidades las mismas operaciones que se realizan en aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, elevación a Potencias y extracción de Raíces, que se indican con los signos ya conocidos.
SIGNOS DE RELACIÓN.
Estos signos se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales o más usados son:
=, Que se lee igual a.
>, Que se lee mayor que.
<, Que se lee menor que.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vinculo — Todos estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a- d] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d
NOMENCLATURA ÁLGEBRAICA.
EXPRESIÓN ÁLGEBRAICA: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas y adquieren significado cuando se utilizan para representar formulas, como la del ejemplo:
TERMINO: es una expresión algebraica con diferentes elementos, un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo (+) o (–), y que también consta de diferentes clases. Los elementos de un término son cuatro: ü Signo. ü Coeficiente. La parte literal Grado. Signo, se entenderá que son términos positivos aquellos que van precedidos del signo (+) y negativos los que van precedidos del signo (–). El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo se comprenderá que es positivo. Coeficiente, como se describe en el párrafo anterior, es uno y cualquiera, generalmente el primero de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5. La Parte literal, la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy.
CLASES DE TÉRMINOS.
Termino Entero es el que no tiene denominador literal.
Termino Fraccionario, es el que tiene denominador literal.
Termino Racional, es el que no tiene radical.
E Irracional es el que tiene radical.
Termino Homogéneo son los que tienen el mismo grado absoluto.
Termino Heterogéneo son los de distinto grado absoluto.
Ahora que ya conocemos la notación algebraica con sus formulas, sus signos de operación, relación, agrupación; y nomenclatura, pasemos a identificar su clasificación.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ÁLGEBRAICAS.
MONOMIO: es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO: es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO: es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO: es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Los polinomios se clasifican también por su GRADO, el cual puede ser absoluto y con relación a una letra.
Polinomio de Grado Absoluto: es aquel en el que su término es de mayor grado. Así en el polinomio x4-5x3+x2-3x el primer término es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo y el ultimo de primer grado; luego el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
Polinomio de Grado con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Ahora que ya conocemos como están conformadas las expresiones algebraicas nos detendremos específicamente ha investigar sobre la multiplicación de polinomios y sus leyes. La multiplicación de polinomios.
Propiedades de la multiplicación.
a) La ley conmutativa de la multiplicación describe que “El orden de los factores no altera el producto” Esta propiedad, es demostrada en aritmética, y se cumple también en el algebra. Así, el producto ab puede escribirse como ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb.
b) La ley asociativa de la multiplicación dice que: “Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo" esta propiedad describe de que los elementos de la multiplicación pueden agruparse de distintas formas y poder encontrar el producto así. Abcd= a ´ (bcd) = (ab) ´ (cd) = (abc) ´ d
c) La ley distributiva, cumple de que si tres polinomios (x, y, z) cualesquiera se cumplirá que. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. a (b + c) = a b + a c d)
En la Ley de los signos. Distinguiremos 2 casos: ·
Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es: “signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (–). Ejemplo: (+a)´(+b) = +ab, Según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multiplicador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador tiene el mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando es (+), luego, el signo del producto será (+). Así: (—a)´(+b) = -ab. Ahora el multiplicador teniendo el mismo signo que la unidad positiva, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero este tiene (-), luego, el producto será (-). (+a) ´ (-b) = -ab. Otro ejemplo el multiplicador teniendo signos contrarios a la unidad positiva, el producto tendrá signos contrario al multiplicando, pero el multiplicando tiene (+), luego, el producto tendrá (-). Siendo el resultado: (-a) ´ (-b) = +ab. El multiplicador tiene signo contrario a la unidad positiva, el producto ha de tener signo contrario al multiplicando; pero este tiene (-), luego, el producto tendrá (+). Lo anterior podemos resumirlo diciendo que: + por + da + - por - da + + por - da - - por + da - · Signo del producto de mas de dos factores. En este caso, la regla es: a) El signo del producto de varios factores es (+) cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = abcd. En efecto: según se demostró antes, el signo del producto de dos factores negativos es (+); luego, tendremos: (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = (-a ´ -b) ´ (-c ´ -d) = (+ab) ´ (+cd) = abcd. b) El signo del producto de varios factores es (–) cuando tiene un número impar de factores negativos. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) = -abc. En efecto: (-a) ´ (-b) ´ (-c) = [(-a) ´ (-b)] ´ (-c) = (+ab) ´ (-c) = -abc. e)
Ley de los exponentes. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Así, a4 ´ a3 ´ a2 = a4+3+2 = a9. En efecto: a4 ´ a3 ´ a2 = aaaa ´ aaa ´ aa = aaaaaaaaa = a9. f) Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Así, 3a ´ 4b = 12ab. En efecto: como el orden de los factores no altera el producto, tendremos: 3a ´ 4b = 3 ´ 4 ´ a ´ b = 12ab.
En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
I. Multiplicación de monomios.
II. Multiplicación de polinomios.
III. Multiplicación de un polinomio por un monomio.
I. Multiplicación de monomios.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. Ejemplo: Multiplicar:(3x3) (5x4) = (3´5) (x3+4) = 15X7.
II. Multiplicación de polinomios.
¿Qué es la multiplicación de polinomios? La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. En la multiplicación de polinomios, el producto de dos monomios es otro monomio en el que se cumple lo siguiente: · El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores. · La parte literal corresponde al producto de la (s) variable (s) que aparecen en los monomios. En este producto se aplica la ley de los exponentes para potencias de igual base. · El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de los monomios factores. Ejemplo: (a + 3) (a +1) = a(a)+ a (1)+ 3(a)+ 3(1) = a2 + a + 3a + 3 = a2 + 4a + 3.
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos. Ejemplo: Multiplicar: (2a3-3a2b+4ab2-2b3) ´ (3a2+4ab -5b2). Ejemplo: Multiplicar: (3x2+2x-1) ´ (4x2-2x+2) ´ (2x2-3x+4) Solución: Se multiplican los dos primeros términos A continuación el resultado obtenido lo Multiplicamos por el otro polinomio.
III. multiplicacion de un polinomio por un monomio.
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.
Ejemplo: Multiplicar: (3ª3+5a2-4) = (3a3+5a2-4) = (3a3) ´ (3a) + (5a2) ´ (3a) – (4) ´ (3a) = 9a4+15a3-12a.
Ahora que ya conocemos parte de su historia, para asimilar este tema de investigación comenzaremos con identificar la diferencia que existe entre la Aritmética y el carácter propio del algebra.
En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: Veinte; para expresar un valor mayor o menor que este habrá que escribir un número distinto de 20.
Ej.: 20 = 2 ´ 10 + 0 ´ 1 = 20.
Álgebra: Rama de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. Por lo tanto el concepto de la cantidad en Algebra es mucho mas amplio que en aritmética.
En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.
NOTACION ÁLGEBRAICA.
Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: aI, aII, aIII, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3 que se leen a sub uno, a sub dos, a sub tres.
Formulas.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formulas algebraicas.
Formula algebraica es la representación, por medio de letras, unidas por los signos de las operaciones aritméticas, de una regla o de un principio general.
Así la geometría enseña que el área de un cuadrado es igual al producto de su base por su altura; luego llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la formula queda así: A = b x h.
En el cuadrado de dimensiones X, Y el perímetro (P), es P = 2x + 2y
El área (A), es A = xy
La longitud de la diagonal (D) es D = √x2+y2
SIGNOS DEL ÁLGEBRA.
Los signos del algebra son de tres clases:
Signos de operación.
Signos de relación.
Signos de agrupación.
SIGNOS DE OPERACIÓN.
En algebra se verifican con cantidades las mismas operaciones que se realizan en aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, elevación a Potencias y extracción de Raíces, que se indican con los signos ya conocidos.
SIGNOS DE RELACIÓN.
Estos signos se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales o más usados son:
=, Que se lee igual a.
>, Que se lee mayor que.
<, Que se lee menor que.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vinculo — Todos estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a- d] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d
NOMENCLATURA ÁLGEBRAICA.
EXPRESIÓN ÁLGEBRAICA: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas y adquieren significado cuando se utilizan para representar formulas, como la del ejemplo:
TERMINO: es una expresión algebraica con diferentes elementos, un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo (+) o (–), y que también consta de diferentes clases. Los elementos de un término son cuatro: ü Signo. ü Coeficiente. La parte literal Grado. Signo, se entenderá que son términos positivos aquellos que van precedidos del signo (+) y negativos los que van precedidos del signo (–). El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo se comprenderá que es positivo. Coeficiente, como se describe en el párrafo anterior, es uno y cualquiera, generalmente el primero de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5. La Parte literal, la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy.
CLASES DE TÉRMINOS.
Termino Entero es el que no tiene denominador literal.
Termino Fraccionario, es el que tiene denominador literal.
Termino Racional, es el que no tiene radical.
E Irracional es el que tiene radical.
Termino Homogéneo son los que tienen el mismo grado absoluto.
Termino Heterogéneo son los de distinto grado absoluto.
Ahora que ya conocemos la notación algebraica con sus formulas, sus signos de operación, relación, agrupación; y nomenclatura, pasemos a identificar su clasificación.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ÁLGEBRAICAS.
MONOMIO: es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO: es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO: es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO: es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Los polinomios se clasifican también por su GRADO, el cual puede ser absoluto y con relación a una letra.
Polinomio de Grado Absoluto: es aquel en el que su término es de mayor grado. Así en el polinomio x4-5x3+x2-3x el primer término es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo y el ultimo de primer grado; luego el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
Polinomio de Grado con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Ahora que ya conocemos como están conformadas las expresiones algebraicas nos detendremos específicamente ha investigar sobre la multiplicación de polinomios y sus leyes. La multiplicación de polinomios.
Propiedades de la multiplicación.
a) La ley conmutativa de la multiplicación describe que “El orden de los factores no altera el producto” Esta propiedad, es demostrada en aritmética, y se cumple también en el algebra. Así, el producto ab puede escribirse como ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb.
b) La ley asociativa de la multiplicación dice que: “Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo" esta propiedad describe de que los elementos de la multiplicación pueden agruparse de distintas formas y poder encontrar el producto así. Abcd= a ´ (bcd) = (ab) ´ (cd) = (abc) ´ d
c) La ley distributiva, cumple de que si tres polinomios (x, y, z) cualesquiera se cumplirá que. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. a (b + c) = a b + a c d)
En la Ley de los signos. Distinguiremos 2 casos: ·
Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es: “signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (–). Ejemplo: (+a)´(+b) = +ab, Según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multiplicador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador tiene el mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando es (+), luego, el signo del producto será (+). Así: (—a)´(+b) = -ab. Ahora el multiplicador teniendo el mismo signo que la unidad positiva, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero este tiene (-), luego, el producto será (-). (+a) ´ (-b) = -ab. Otro ejemplo el multiplicador teniendo signos contrarios a la unidad positiva, el producto tendrá signos contrario al multiplicando, pero el multiplicando tiene (+), luego, el producto tendrá (-). Siendo el resultado: (-a) ´ (-b) = +ab. El multiplicador tiene signo contrario a la unidad positiva, el producto ha de tener signo contrario al multiplicando; pero este tiene (-), luego, el producto tendrá (+). Lo anterior podemos resumirlo diciendo que: + por + da + - por - da + + por - da - - por + da - · Signo del producto de mas de dos factores. En este caso, la regla es: a) El signo del producto de varios factores es (+) cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = abcd. En efecto: según se demostró antes, el signo del producto de dos factores negativos es (+); luego, tendremos: (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = (-a ´ -b) ´ (-c ´ -d) = (+ab) ´ (+cd) = abcd. b) El signo del producto de varios factores es (–) cuando tiene un número impar de factores negativos. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) = -abc. En efecto: (-a) ´ (-b) ´ (-c) = [(-a) ´ (-b)] ´ (-c) = (+ab) ´ (-c) = -abc. e)
Ley de los exponentes. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Así, a4 ´ a3 ´ a2 = a4+3+2 = a9. En efecto: a4 ´ a3 ´ a2 = aaaa ´ aaa ´ aa = aaaaaaaaa = a9. f) Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Así, 3a ´ 4b = 12ab. En efecto: como el orden de los factores no altera el producto, tendremos: 3a ´ 4b = 3 ´ 4 ´ a ´ b = 12ab.
En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
I. Multiplicación de monomios.
II. Multiplicación de polinomios.
III. Multiplicación de un polinomio por un monomio.
I. Multiplicación de monomios.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. Ejemplo: Multiplicar:(3x3) (5x4) = (3´5) (x3+4) = 15X7.
II. Multiplicación de polinomios.
¿Qué es la multiplicación de polinomios? La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. En la multiplicación de polinomios, el producto de dos monomios es otro monomio en el que se cumple lo siguiente: · El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores. · La parte literal corresponde al producto de la (s) variable (s) que aparecen en los monomios. En este producto se aplica la ley de los exponentes para potencias de igual base. · El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de los monomios factores. Ejemplo: (a + 3) (a +1) = a(a)+ a (1)+ 3(a)+ 3(1) = a2 + a + 3a + 3 = a2 + 4a + 3.
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos. Ejemplo: Multiplicar: (2a3-3a2b+4ab2-2b3) ´ (3a2+4ab -5b2). Ejemplo: Multiplicar: (3x2+2x-1) ´ (4x2-2x+2) ´ (2x2-3x+4) Solución: Se multiplican los dos primeros términos A continuación el resultado obtenido lo Multiplicamos por el otro polinomio.
III. multiplicacion de un polinomio por un monomio.
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.
Ejemplo: Multiplicar: (3ª3+5a2-4) = (3a3+5a2-4) = (3a3) ´ (3a) + (5a2) ´ (3a) – (4) ´ (3a) = 9a4+15a3-12a.
productos notables
Productos Notables.
Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos (o productos especiales) que cumplen reglas fijas cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales. Son formulas matemáticas que permiten simplificar la resolución pudiendo ser escrita por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.
Los productos notables están relacionadas con las formulas de factorización ya que cada producto notable corresponde a una formula de factorización.
Ahora veamos algunos ejemplos de productos notables como los que se describen a continuación:
· Cuadrado de un binomio.
· Binomios conjugados.
· Producto de binomio con un término común.
· Cubo de un binomio.
· Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.
· Cuadrado de un trinomio.
Cuadrado de un binomio.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por si mismo), se suman los cuadrados de cada termino con el doble del producto de los mismos.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Una ilustración grafica del cuadrado de un binomio seria la siguiente:
Ahora el resultando es un trinomio de la forma:
a2 + 2ab + b2, al cual le conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo termino es negativo la expresión algebraica que se obtiene es: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Otro ejemplo seria: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4x2 – 12xy + 9y2ß
Binomios conjugados.
Cuando se encuentran dos binomios que solo se diferencian en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Planteado de otra manera seria la siguiente: El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Es decir: (a + b) (a – b) = a2 – b2
La ilustración grafica de este binomio conjugado seria la siguiente:
Otro ejemplo:
(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28.
Producto de binomio con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suman el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se le añade el producto de los términos diferentes.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Otro planteamiento seria así: El producto de dos binomios del tipo (x + a) (x + b) es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.
La mejor ilustración grafica de la expresión algebraica arriba descrita del producto de un binomio con un término común seria la siguiente:
Retomamos el ejemplo anterior.
(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28
Cubo de un binomio.
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
Otra apreciación seria que: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Otro ejemplo: (x + 2y)3 = x3 + 3(x)2 (2y) + 3 (x) (2y)2 + (2y)3
= x3 + 6x2 y + 12xy2 + 8 y 3
Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.
La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que: x3 +y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Tendremos:
Es decir, (x + y) (x2 + xy + y2) = x3 – y3 tal como queríamos demostrar.
Cuadrado de un trinomio.
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2x + 3y – 5z)2 = (2x)2 + (3y)2 + (-5z)2 + 2(2x)(3y) + 2(2x)(5z) + 2(3y)(- 5z)
=4x2 + 9y2 + 25z2 + 12xy – 20 xz – 30yz.
Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos (o productos especiales) que cumplen reglas fijas cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales. Son formulas matemáticas que permiten simplificar la resolución pudiendo ser escrita por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.
Los productos notables están relacionadas con las formulas de factorización ya que cada producto notable corresponde a una formula de factorización.
Ahora veamos algunos ejemplos de productos notables como los que se describen a continuación:
· Cuadrado de un binomio.
· Binomios conjugados.
· Producto de binomio con un término común.
· Cubo de un binomio.
· Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.
· Cuadrado de un trinomio.
Cuadrado de un binomio.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por si mismo), se suman los cuadrados de cada termino con el doble del producto de los mismos.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Una ilustración grafica del cuadrado de un binomio seria la siguiente:
Ahora el resultando es un trinomio de la forma:
a2 + 2ab + b2, al cual le conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo termino es negativo la expresión algebraica que se obtiene es: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Otro ejemplo seria: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4x2 – 12xy + 9y2ß
Binomios conjugados.
Cuando se encuentran dos binomios que solo se diferencian en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Planteado de otra manera seria la siguiente: El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Es decir: (a + b) (a – b) = a2 – b2
La ilustración grafica de este binomio conjugado seria la siguiente:
Otro ejemplo:
(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28.
Producto de binomio con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suman el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se le añade el producto de los términos diferentes.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Otro planteamiento seria así: El producto de dos binomios del tipo (x + a) (x + b) es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.
La mejor ilustración grafica de la expresión algebraica arriba descrita del producto de un binomio con un término común seria la siguiente:
Retomamos el ejemplo anterior.
(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28
Cubo de un binomio.
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
Otra apreciación seria que: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Otro ejemplo: (x + 2y)3 = x3 + 3(x)2 (2y) + 3 (x) (2y)2 + (2y)3
= x3 + 6x2 y + 12xy2 + 8 y 3
Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.
La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que: x3 +y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Tendremos:
Es decir, (x + y) (x2 + xy + y2) = x3 – y3 tal como queríamos demostrar.
Cuadrado de un trinomio.
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2x + 3y – 5z)2 = (2x)2 + (3y)2 + (-5z)2 + 2(2x)(3y) + 2(2x)(5z) + 2(3y)(- 5z)
=4x2 + 9y2 + 25z2 + 12xy – 20 xz – 30yz.
aplicaciones de los polinomios
Aplicaciones de los polinomios.
El algebra es quizá, la herramienta mas poderosa para llegar a la solución de problemas. Con el uso de constantes y variables se puede representar un sinnúmero de situaciones, se generalizan eventos y se da solución a casos particulares. A través del algebra se simplifican y se generaliza todo aquello relacionado con los números: operaciones y relaciones, junto con sus propiedades. Por eso los polinomios aparecen en los lugares más inesperados.
Por ejemplo una molécula de ADN humano puede medir hasta un metro y, sin embargo, debe estar comprimida en una célula cuyo tamaño es de unas 5 millonésimas de metros. A pesar de estas aperturas, cuando debe auto duplicarse, lo hace perfectamente sin ningún problema aparente. Para estudiar el modo como el ADN se entrecruza y forma esos nudos tan particulares que le permiten mantener la estructura se utilizan diversos métodos matemáticos entre los que se incluyen los llamados “polinomios de Jones”.
El algebra es quizá, la herramienta mas poderosa para llegar a la solución de problemas. Con el uso de constantes y variables se puede representar un sinnúmero de situaciones, se generalizan eventos y se da solución a casos particulares. A través del algebra se simplifican y se generaliza todo aquello relacionado con los números: operaciones y relaciones, junto con sus propiedades. Por eso los polinomios aparecen en los lugares más inesperados.
Por ejemplo una molécula de ADN humano puede medir hasta un metro y, sin embargo, debe estar comprimida en una célula cuyo tamaño es de unas 5 millonésimas de metros. A pesar de estas aperturas, cuando debe auto duplicarse, lo hace perfectamente sin ningún problema aparente. Para estudiar el modo como el ADN se entrecruza y forma esos nudos tan particulares que le permiten mantener la estructura se utilizan diversos métodos matemáticos entre los que se incluyen los llamados “polinomios de Jones”.
bibliografia
Bibliografía.
- Enciclopedia Estudiantil Microsoft ENCARTA 2008.
- Enciclopedia temática estudiantil MENTOR interactivo.
- PUBLICACIONES CULTURAL Donneco Internacional S.A. de C.V.
- Alfa 8 con estándares/Leonor Camargo Uribe Grupo Editorial Norma 2003.
- Estudio Internacional de Tendencias en matemática y ciencias (TIMSS) 2007.
- Micro proyectos sociales modulo # 13 “serie es mejor prevenir” Federación Internacional de Sociedades de La Cruz Roja y Media Luna Roja.
- Guía para la elaboración de trabajos de investigación monográfico o tesis / Salvador Iglesias Mejía / tercera edición Corregida y aumentada.
- Aritmética y Algebra / Dr. Aurelio Baldor / edición 1983 / Cultural Centroamericana S. A.
- Matemáticas 8 / Tercera edición Santillana / Tercer ciclo / El Salvador.
- Matemáticas Primer Año / Lic. Raúl Aguilera Liborio. / San Salvador / Taller UCA.
INTERNET.
- http://www.astroseti.org
- http://www.zoltandienes.com
- http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2001/julio/indice62.htm
- http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD6/contenidos/ico/educar.ico
- http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0001/Image/Mdulo1_lgebrayfunciones/CuboBinomioPSU.jpg
- http://utenti.quipo.it/base5/index.htm
- http://www.vitutor.com/ab/p/a_6.html#to
- http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_con_polinomios#Valor_num.C3.A9rico_de_un_polinomio
- http://www.educarchile.cl
- http://kenatica.wordpress.com/2007/01/30/the-golden-principle-of-al-khwarizmi-algorithm/
- http://www.sectormatematica.cl/estilo.css
- http://www.rincondelvago.com
- http://www.elsalvador.com
- http://www.elsalvador.com/hablemos/2005/050605/050605-3.htm
- http://www.mismates.net/diccionario/f.htm
- http://elmundodelospolinomios.wiki.mailxmail.com/PaginaInicial
- http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/sopapoli.asp
- http://cuentameuncuento.blogspot.com/2007/03/sobre-polinomios.html
- http://www.caraysenal.agenciapulsar.org/0.php?cys=8&s=7&n=4
- http://www.elgemelomalvado.com/2008/03/intolerantes-polinomios-de-segundo.html
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- Micro proyectos sociales modulo # 13 “serie es mejor prevenir” Federación Internacional de Sociedades de La Cruz Roja y Media Luna Roja.
- Guía para la elaboración de trabajos de investigación monográfico o tesis / Salvador Iglesias Mejía / tercera edición Corregida y aumentada.
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- Matemáticas Primer Año / Lic. Raúl Aguilera Liborio. / San Salvador / Taller UCA.
INTERNET.
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- http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0001/Image/Mdulo1_lgebrayfunciones/CuboBinomioPSU.jpg
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