productos notables

Productos Notables.

Productos notables es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos (o productos especiales) que cumplen reglas fijas cuya aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales. Son formulas matemáticas que permiten simplificar la resolución pudiendo ser escrita por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación de algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.
Los productos notables están relacionadas con las formulas de factorización ya que cada producto notable corresponde a una formula de factorización.
Ahora veamos algunos ejemplos de productos notables como los que se describen a continuación:

· Cuadrado de un binomio.
· Binomios conjugados.
· Producto de binomio con un término común.
· Cubo de un binomio.
· Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.
· Cuadrado de un trinomio.

Cuadrado de un binomio.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por si mismo), se suman los cuadrados de cada termino con el doble del producto de los mismos.

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Una ilustración grafica del cuadrado de un binomio seria la siguiente:


Ahora el resultando es un trinomio de la forma:
a2 + 2ab + b2, al cual le conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo termino es negativo la expresión algebraica que se obtiene es: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Otro ejemplo seria: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
= 4x2 – 12xy + 9y2ß

Binomios conjugados.

Cuando se encuentran dos binomios que solo se diferencian en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Planteado de otra manera seria la siguiente: El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Es decir: (a + b) (a – b) = a2 – b2


La ilustración grafica de este binomio conjugado seria la siguiente:
Otro ejemplo:

(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28.

Producto de binomio con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suman el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se le añade el producto de los términos diferentes.
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Otro planteamiento seria así: El producto de dos binomios del tipo (x + a) (x + b) es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.


La mejor ilustración grafica de la expresión algebraica arriba descrita del producto de un binomio con un término común seria la siguiente:

Retomamos el ejemplo anterior.
(3x + 4) (3x – 7) = (3x)2 + (4 – 7) (3x) + (4) (- 7)
= 9x2 – 9x – 28

Cubo de un binomio.


Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

Otra apreciación seria que: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Otro ejemplo: (x + 2y)3 = x3 + 3(x)2 (2y) + 3 (x) (2y)2 + (2y)3
= x3 + 6x2 y + 12xy2 + 8 y 3

Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos.

La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que: x3 +y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Tendremos:


Es decir, (x + y) (x2 + xy + y2) = x3 – y3 tal como queríamos demostrar.

Cuadrado de un trinomio.

El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2x + 3y – 5z)2 = (2x)2 + (3y)2 + (-5z)2 + 2(2x)(3y) + 2(2x)(5z) + 2(3y)(- 5z)
=4x2 + 9y2 + 25z2 + 12xy – 20 xz – 30yz.