sábado, 25 de octubre de 2008

los polinomios

LOS POLINOMIOS.

Ahora que ya conocemos parte de su historia, para asimilar este tema de investigación comenzaremos con identificar la diferencia que existe entre la Aritmética y el carácter propio del algebra.

En Aritmética las cantidades se representan por números y estos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: Veinte; para expresar un valor mayor o menor que este habrá que escribir un número distinto de 20.

Ej.: 20 = 2 ´ 10 + 0 ´ 1 = 20.

Álgebra:
Rama de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita. Por lo tanto el concepto de la cantidad en Algebra es mucho mas amplio que en aritmética.

En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

NOTACION ÁLGEBRAICA.

Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo: aI, aII, aIII, que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: a1, a2, a3 que se leen a sub uno, a sub dos, a sub tres.

Formulas.


Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formulas algebraicas.

Formula algebraica es la representación, por medio de letras, unidas por los signos de las operaciones aritméticas, de una regla o de un principio general.

Así la geometría enseña que el área de un cuadrado es igual al producto de su base por su altura; luego llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la formula queda así: A = b x h.

En el cuadrado de dimensiones X, Y el perímetro (P), es P = 2x + 2y
El área (A), es A = xy
La longitud de la diagonal (D) es D = √x2+y2

SIGNOS DEL ÁLGEBRA.

Los signos del algebra son de tres clases:

Signos de operación.
Signos de relación.
Signos de agrupación.

SIGNOS DE OPERACIÓN.

En algebra se verifican con cantidades las mismas operaciones que se realizan en aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, elevación a Potencias y extracción de Raíces, que se indican con los signos ya conocidos.

SIGNOS DE RELACIÓN.

Estos signos se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales o más usados son:

=, Que se lee igual a.
>, Que se lee mayor que.
<, Que se lee menor que.


SIGNOS DE AGRUPACIÓN.

Los signos de agrupación son el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vinculo — Todos estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a- d] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d

NOMENCLATURA ÁLGEBRAICA.

EXPRESIÓN ÁLGEBRAICA: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas y adquieren significado cuando se utilizan para representar formulas, como la del ejemplo:

TERMINO: es una expresión algebraica con diferentes elementos, un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo (+) o (–), y que también consta de diferentes clases. Los elementos de un término son cuatro: ü Signo. ü Coeficiente. La parte literal Grado. Signo, se entenderá que son términos positivos aquellos que van precedidos del signo (+) y negativos los que van precedidos del signo (–). El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo se comprenderá que es positivo. Coeficiente, como se describe en el párrafo anterior, es uno y cualquiera, generalmente el primero de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5. La Parte literal, la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy.

CLASES DE TÉRMINOS.

Termino Entero es el que no tiene denominador literal.
Termino Fraccionario, es el que tiene denominador literal.
Termino Racional, es el que no tiene radical.
E Irracional es el que tiene radical.
Termino Homogéneo son los que tienen el mismo grado absoluto.
Termino Heterogéneo son los de distinto grado absoluto.

Ahora que ya conocemos la notación algebraica con sus formulas, sus signos de operación, relación, agrupación; y nomenclatura, pasemos a identificar su clasificación.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ÁLGEBRAICAS.

MONOMIO: es una expresión algebraica que consta de un solo término.
BINOMIO: es un polinomio que consta de dos términos.
TRINOMIO: es un polinomio que consta de tres términos.
POLINOMIO: es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Los polinomios se clasifican también por su GRADO, el cual puede ser absoluto y con relación a una letra.

Polinomio de Grado Absoluto: es aquel en el que su término es de mayor grado. Así en el polinomio x4-5x3+x2-3x el primer término es de cuarto grado, el segundo de tercer grado, el tercero de segundo y el ultimo de primer grado; luego el grado absoluto del polinomio es el cuarto.

Polinomio de Grado con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio.

Ahora que ya conocemos como están conformadas las expresiones algebraicas nos detendremos específicamente ha investigar sobre la multiplicación de polinomios y sus leyes. La multiplicación de polinomios.

Propiedades de la multiplicación.

a) La ley conmutativa de la multiplicación describe que “El orden de los factores no altera el producto” Esta propiedad, es demostrada en aritmética, y se cumple también en el algebra. Así, el producto ab puede escribirse como ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb.

b) La ley asociativa de la multiplicación dice que: “Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo" esta propiedad describe de que los elementos de la multiplicación pueden agruparse de distintas formas y poder encontrar el producto así. Abcd= a ´ (bcd) = (ab) ´ (cd) = (abc) ´ d

c) La ley distributiva, cumple de que si tres polinomios (x, y, z) cualesquiera se cumplirá que. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. a (b + c) = a b + a c d)

En la Ley de los signos. Distinguiremos 2 casos: ·

Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es: “signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (–). Ejemplo: (+a)´(+b) = +ab, Según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene que ser respecto del signo del multiplicando lo que el signo del multiplicador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador tiene el mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando es (+), luego, el signo del producto será (+). Así: (—a)´(+b) = -ab. Ahora el multiplicador teniendo el mismo signo que la unidad positiva, el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pero este tiene (-), luego, el producto será (-). (+a) ´ (-b) = -ab. Otro ejemplo el multiplicador teniendo signos contrarios a la unidad positiva, el producto tendrá signos contrario al multiplicando, pero el multiplicando tiene (+), luego, el producto tendrá (-). Siendo el resultado: (-a) ´ (-b) = +ab. El multiplicador tiene signo contrario a la unidad positiva, el producto ha de tener signo contrario al multiplicando; pero este tiene (-), luego, el producto tendrá (+). Lo anterior podemos resumirlo diciendo que: + por + da + - por - da + + por - da - - por + da - · Signo del producto de mas de dos factores. En este caso, la regla es: a) El signo del producto de varios factores es (+) cuando tiene un numero par de factores negativos o ninguno. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = abcd. En efecto: según se demostró antes, el signo del producto de dos factores negativos es (+); luego, tendremos: (-a) ´ (-b) ´ (-c) ´ (-d) = (-a ´ -b) ´ (-c ´ -d) = (+ab) ´ (+cd) = abcd. b) El signo del producto de varios factores es (–) cuando tiene un número impar de factores negativos. Así, (-a) ´ (-b) ´ (-c) = -abc. En efecto: (-a) ´ (-b) ´ (-c) = [(-a) ´ (-b)] ´ (-c) = (+ab) ´ (-c) = -abc. e)

Ley de los exponentes. Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. Así, a4 ´ a3 ´ a2 = a4+3+2 = a9. En efecto: a4 ´ a3 ´ a2 = aaaa ´ aaa ´ aa = aaaaaaaaa = a9. f) Ley de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Así, 3a ´ 4b = 12ab. En efecto: como el orden de los factores no altera el producto, tendremos: 3a ´ 4b = 3 ´ 4 ´ a ´ b = 12ab.

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

I. Multiplicación de monomios.

II. Multiplicación de polinomios.

III. Multiplicación de un polinomio por un monomio.

I. Multiplicación de monomios.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos. Ejemplo: Multiplicar:(3x3) (5x4) = (3´5) (x3+4) = 15X7.

II. Multiplicación de polinomios.

¿Qué es la multiplicación de polinomios? La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto. En la multiplicación de polinomios, el producto de dos monomios es otro monomio en el que se cumple lo siguiente: · El coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores. · La parte literal corresponde al producto de la (s) variable (s) que aparecen en los monomios. En este producto se aplica la ley de los exponentes para potencias de igual base. · El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de los monomios factores. Ejemplo: (a + 3) (a +1) = a(a)+ a (1)+ 3(a)+ 3(1) = a2 + a + 3a + 3 = a2 + 4a + 3.

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos. Ejemplo: Multiplicar: (2a3-3a2b+4ab2-2b3) ´ (3a2+4ab -5b2). Ejemplo: Multiplicar: (3x2+2x-1) ´ (4x2-2x+2) ´ (2x2-3x+4) Solución: Se multiplican los dos primeros términos A continuación el resultado obtenido lo Multiplicamos por el otro polinomio.

III. multiplicacion de un polinomio por un monomio.

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo: Multiplicar: (3ª3+5a2-4) = (3a3+5a2-4) = (3a3) ´ (3a) + (5a2) ´ (3a) – (4) ´ (3a) = 9a4+15a3-12a.